1、先导
理解行列式因子之前，我们先要了解它定义中的k阶子式是怎么求出来的。而行列式因子的引入是为了证明smith标准型的唯一性。
k阶子式
在行列式中任取k行k列的，k是任意取得，没有限制，（k行k列也就是说明行、列数相同就可以了，像我可以取第1、2行，列数可以取1、2列；列数也可以取2、3列，这两个也都是2阶子式）这些行列相交的公共元素，重新组合的新的行列式。以例子来说明加深理解。
A
=
∣
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∣
A=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}
A=∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣
（1）1阶子式
1
阶
子
式
有
：
∣
1
∣
、
∣
2
∣
、
∣
3
∣
、
.
.
.
∣
9
∣
取
完
行
列
式
中
的
全
部
元
素
。
1阶子式有：\begin{vmatrix} 1 \\ \end{vmatrix} 、 \begin{vmatrix} 2 \\ \end{vmatrix} 、 \begin{vmatrix} 3 \\ \end{vmatrix} 、... \begin{vmatrix} 9 \end{vmatrix} 取完行列式中的全部元素。
1阶子式有：∣∣1∣∣、∣∣2∣∣、∣∣3∣∣、...∣∣9∣∣取完行列式中的全部元素。
（2）2阶子式
2
阶
子
式
有
：
∣
1
2
3
4
∣
（
第
1
、
2
行
，
第
1
、
2
列
）
、
∣
2
3
5
6
∣
（
第
1
、
2
行
，
第
2
、
3
列
）
、
.
.
.
、
∣
5
6
8
9
∣
（
第
2
、
3
行
，
第
2
、
3
列
）
.
.
.
2阶子式有：\begin{vmatrix} 1&2 \\ 3&4\\ \end{vmatrix} （第1、2行，第1、2列）、 \begin{vmatrix} 2&3 \\ 5&6 \end{vmatrix} （第1、2行，第2、3列）、 ...、 \begin{vmatrix} 5&6 \\ 8&9 \end{vmatrix} （第2、3行，第2、3列）...
2阶子式有：∣∣∣∣1324∣∣∣∣（第1、2行，第1、2列）、∣∣∣∣2536∣∣∣∣（第1、2行，第2、3列）、...、∣∣∣∣5869∣∣∣∣（第2、3行，第2、3列）... 一直到取完全部的2阶行列式，全部的这些二阶行列式都是2阶子式。
（3）3阶子式
3阶子式就是该行列式。 依此类推到k阶子式。
主子式
在行列式中取k行k列，行（或列）的标号虽然可以任取（不需要按照间隔为1来取），但是列（或行）的标号要与行（或列）一致，即行列标号一样，例如行取1、3、6，列就得取1、3、6；行取2、3、5，列就得取2、3、5.
顺序主子式
也是在行列式中取k行k列，但是要从第1行第1列开始选，也就是说一阶顺序主子式只是第1行第1列构成的行列式；二阶顺序主子式只有第1、2行和第1、2列构成的行列式；三阶顺序主子式只有第1、2、3行和第1、2、3列构成的行列式，依此类推。 说明顺序主子式唯一。
2、不变因子
不变因子是将矩阵化成smith标准型后的对角线上的全部非0元素。smith标准型的化简是采用行和列变化，使其后一个对角线元素能整除前一个对角线元素。举个例子（下面的A、B矩阵都是数字矩阵的的λ-矩阵化成的，即λE-A、λE-B，这两个的λ-矩阵的λ的次数是和阶数一样的，都是3次）。
A
(
λ
)
=
(
1
0
0
0
λ
−
1
0
0
0
(
λ
−
1
)
(
λ
−
2
)
)
,
B
(
λ
)
=
(
1
0
0
0
λ
−
1
0
0
0
(
λ
−
2
)
2
)
A(λ)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ-1 &0 \\ 0 & 0 & (λ-1 )(λ-2 )\\ \end{pmatrix} ,B(λ)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ-1 &0 \\ 0 & 0 & (λ-2 )^2 \\ \end{pmatrix}
A(λ)=⎝⎛1000λ−1000(λ−1)(λ−2)⎠⎞,B(λ)=⎝⎛1000λ−1000(λ−2)2⎠⎞其中A(λ)是Smith标准型，因为(λ-1)(λ-2)能整除(λ-1)，当然(λ-1)可以整除1；而B(λ)不是Smith标准型，因为 (λ-2)2不能整除 (λ-1)。当然不一定一开始的对角线元素就是1，也可以是λ的多项式（我举得这个C(λ)例子不是数字矩阵的λ-矩阵，因此λ的阶数不等于他的维数）。
C
(
λ
)
=
(
λ
−
1
0
0
0
λ
−
1
0
0
0
(
λ
−
1
)
(
λ
−
2
)
)
C(λ)=\begin{pmatrix} λ-1 & 0 & 0 \\ 0 & λ-1 &0 \\ 0 & 0 & (λ-1 )(λ-2 )\\ \end{pmatrix}
C(λ)=⎝⎛λ−1000λ−1000(λ−1)(λ−2)⎠⎞C(λ)这种也是smith标准型
3、行列式因子
定义：λ-矩阵A(λ)的全部的非零k阶子式的首项系数为1的最大公因式Dk (λ)称为k阶行列式因子。 不变因子和行列式因子的关系：不变因子di ，行列式因子Di 。d1 =D1 ，d2 =D2 /D1 …,dr =Dr /Dr-1 。 要是给出的矩阵是对角形式的，用行列式因子能很快的求解出不变因子，从而求出Smith标准型。举个例子：
A
(
λ
)
=
(
λ
(
λ
+
1
)
0
0
0
λ
0
0
0
(
λ
+
1
)
2
)
A(λ)=\begin{pmatrix} λ(λ+1) & 0 & 0 \\ 0 & λ &0 \\ 0 & 0 & (λ+1)^2\\ \end{pmatrix}
A(λ)=⎝⎛λ(λ+1)000λ000(λ+1)2⎠⎞ 可见。非零1阶子式有λ(λ+1)、λ 、(λ+1)2 ,则最大公因式D1 =1；非零2阶子式有λ2(λ+1)、λ(λ+1)3 ，λ(λ+1)2 ，则最大公因式D2 =λ(λ+1)；非零3阶子式有λ2(λ+1)3 ,则最大公因式D3 =λ2(λ+1)3 。 因此我们可以求解第一个不变因子d1 =D1 =1；d2 =D2 /D1 =λ(λ+1)；d3 =D3 /D2 =λ(λ+1)2 。故可化成Smith标准型为
(
1
0
0
0
λ
(
λ
+
1
)
0
0
0
λ
(
λ
+
1
)
2
)
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ(λ+1) &0 \\ 0 & 0 & λ(λ+1)^2\\ \end{pmatrix}
⎝⎛1000λ(λ+1)000λ(λ+1)2⎠⎞
4、初等因子
把不变因子中的常数项去掉，剩下的关于λ的因式进行分解，注意分解的因式是互不相同的(仅是针对同一个不变因子的)。例如：不变因子为1，λ，λ(λ-1)， 则初等因子为λ，λ，λ-1；若是不变因子为1，1，(λ-1)3 ,则初等因子为(λ-1)3 。
5、参考
矩阵分析（第三版）史荣昌 k阶子式、主子式、顺序主子式的一些定义的参考 使用LaTeX写矩阵